Παλιά Κινέζικη παροιμία --> "1οοο Like δεν κάνουν ένα καλό σχόλιο"

Τρίτη, 19 Δεκεμβρίου 2017

Το 5ο Αίτημα του Ευκλείδη και η ανακάλυψη νέων Γεωμετριών – Μέρος 1ο



O Ευκλείδης στο Βιβλίο Ι των Στοιχείων επιχειρεί να θεμελιώσει την Γεωμετρία του (η οποία στο εξής θα καλείται «Ευκλείδεια») με τη βοήθεια 5 «Αιτημάτων» και 9 «Αξιωμάτων». Το 5ο από τα αιτήματα του Ευκλείδη (για το οποίο θα χρησιμοποιούμε τη λέξη «αίτημα» περισσότερο για ιστορικούς λόγους) παίζει αποφασιστικό ρόλο στην ύπαρξη και κατασκευή παραλλήλων ευθειών και έχει ως εξής (σε νεοελληνική απόδοση):

Από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μοναδική ευθεία που να είναι παράλληλη προς τη δοθείσα. 

 


 Η ύπαρξη λοιπόν του 5ου Αιτήματος θεωρήθηκε ότι μπορεί μεν να συμφωνεί με την εποπτεία μας, δεν έχει όμως κάποιον άκρως προφανή χαρακτήρα, όπως τα υπόλοιπα αιτήματα και αξιώματα (π.χ. ότι μεταξύ δύο σημείων μπορούμε πάντα να χαράξουμε την ευθεία που τα συνδέει) και συνεπώς θα πρέπει με κάποιο τρόπο να μπορεί να εξαχθεί από τις υπόλοιπες προτάσεις.
Έτσι πολλοί μελετητές των Στοιχείων, από την πρώτη στιγμή έκριναν ως περιττή την ύπαρξή της ως αίτημα και προσπάθησαν να το αποδείξουν από άλλες προτάσεις.
Σήμερα πλέον έχει δειχθεί η αδυναμία απόδειξης του 5ου Αιτήματος. Για την ακρίβεια η παρουσία του δεν έχει καμία απολύτως επίδραση στην ορθότητα των αποδείξεων των υπολοίπων γεωμετρικών προτάσεων. Απλώς αν δεχτούμε ότι ισχύει, τότε η γεωμετρία που προκύπτει συμφωνεί με την εποπτεία μας.
Συγκεκριμένα:
Αν παραλείψουμε εντελώς το 5ο Αίτημα παίρνουμε την λεγόμενη
«Απόλυτη Γεωμετρία»
ενώ αν δεχθούμε ότι:

α. Από σημείο  εκτός ευθείας δεν περνά καμία παράλληλη προς αυτή παίρνουμε την

Ελλειπτική Γεωμετρία (Γεωμετρία του Riemann)

ή

β. Από σημείο  εκτός ευθείας περνούν τουλάχιστο δύο παράλληλες προς αυτή παίρνουμε την

Υπερβολική Γεωμετρία (Γεωμετρία των Bolyai Lobatschewski)

Ας γνωρίσουμε λίγο την α. περίπτωση (Ελλειπτική Γεωμετρία).
Georg  Riemann
Θεμελιωτής αυτής της γεωμετρίας θεωρείται ο γερμανός μαθηματικός Ρίμαν (Georg  Riemann, 1826 - 1866), οποίος υπήρξε μαθητής του μεγάλου μαθηματικού Γκάους (Karl Friedrich Gauss, 1777 - 1855). Το 1853, ο Γκάους του ζήτησε να ετοιμάσει και να παρουσιάσει μια διατριβή πάνω στα θεμέλια της γεωμετρίας. Όταν τελικά ο Ρίμαν έδωσε τη διάλεξή του στο Γκέτινγκεν το 1854, το μαθηματικό κοινό την υποδέχθηκε με ενθουσιασμό. Θεωρείται ακόμα μία από τις σημαντικότερες εργασίες για τη Γεωμετρία. Ο τίτλος της ήταν Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen («Επί των υποθέσεων που βρίσκονται στα θεμέλια της Γεωμετρίας»). 

 Η Eλλειπτική Gεωμετρία αν εφαρμοστεί στην επιφάνεια μίας σφαίρας μας δίνει την σφαιρική γεωμετρία, η οποία χρησιμοποιείται στην αστρονομία. Στην γεωμετρία αυτή δεν υπάρχουν παράλληλες και επίσης ισχύει ότι όλες οι ευθείες έχουν το ίδιο μήκος. Για την ακρίβεια οι ευθείες είναι οι μέγιστοι κύκλοι της σφαίρας, οπότε και τέμνονται μεταξύ τους. Μπορούμε μάλιστα να φτιάξουμε τα λεγόμενα σφαιρικά τρίγωνα όπως φαίνεται και στα παρακάτω σχήματα χρησιμοποιώντας ως πλευρές τόξα μέγιστων κύκλων. Ένα βασικό συμπέρασμα της γεωμετρίας αυτής είναι ότι για το άθροισμα των γωνιών του καθενός από αυτά ισχύει ότι είναι μεγαλύτερο των 180°.
Αυτό είναι διαφορετικό από ότι ισχύει στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, όπου το άθροισμα των γωνιών κάθε τριγώνου είναι ακριβώς 180°.
 

 

 Η συνέχεια στο Μέρος 2ο όπου θα ασχοληθούμε με την Υπερβολική Γεωμετρία.

Η Εφημερίδα των μαθητών του 2ου Πρότυπου Πειραματικού Γυμνασίου θεσσαλονίκης