Ένα σύγχρονο γεωμετρικό πρόβλημα στην κλασική Αθήνα!

Σε διαθεματική συνδιδασκαλία Μαθηματικών και Αρχαίας Ελληνικής Γλώσσας με χρήση ΤΠΕ που πραγματοποιήσαμε με τον κ. Πέτσα ασχοληθήκαμε με ένα γεωμετρικό πρόβλημα στον Πλάτωνα και παράλληλα θίξαμε δύο πλατωνικές θεωρίες: τη θεωρία της ανάμνησης και τη θεωρία της αθανασίας της ψυχής. 
Επειδή το θέμα κεντρίζει εύλογα το ενδιαφέρον, ακολουθεί μία συνοπτική παρουσίαση της συνδιδασκαλίας.

Στον Πλατωνικό διάλογο «Μένων 82a-85b» συναντάμε ένα γεωμετρικό πρόβλημα, το οποίο είναι πρόβλημα και της σύγχρονης γεωμετρίας.

Ο Σωκράτης προσκαλεί έναν από τους δούλους που τον συνοδεύουν, ο οποίος γνωρίζει ελληνικά αλλά όχι μαθηματικά να εξετάσει μαζί του το εξής γεωμετρικό πρόβλημα: με ποιο τρόπο μπορεί να διπλασιάσει ένα τετράγωνο. Δηλαδή να βρει την πλευρά τετραγώνου, το οποίο έχει εμβαδό διπλάσιο από το αρχικό. Μολονότι ο δούλος δεν γνωρίζει γεωμετρία, παρακολουθεί και άλλοτε συναινεί και άλλοτε όχι στην πορεία των σκέψεων του Σωκράτη.

Ακολουθούν δύο απόπειρες επίλυσης του προβλήματος από το δούλο:

Ο Σωκράτης προχωρεί τέλος στον τετραπλασιασμό του τετραγώνου. Σχηματίζοντας τέσσερα τετράγωνα σε σχήμα τετραγώνου τα μοιράζει σε δύο σύροντας τη διαγώνιο· έτσι καταλήγει σ᾿ ένα τετράγωνο, που είναι διπλάσιο του πρώτου. Το συμπέρασμα που βγάζει μαζί με τον δούλο είναι ότι ο διπλασιασμός του τετραγώνου γίνεται, όταν σχηματίσουμε ένα άλλο τετράγωνο με πλευρά τη διαγώνιο του πρώτου.

Πώς θα γράφαμε την απόδειξη με σημερινό συμβολισμό;

Η θεωρία της ανάμνησης (Μένων 80d-86c)

Μέσα από τα βήματα που ακολούθησε ο δούλος για να λύσει το πρόβλημα, αποδεικνύεται ότι τον μαθηματικό συλλογισμό τον αντλεί από μέσα του. Ο δούλος τώρα θυμήθηκε, λειτούργησε μέσα του η ἀνάμνησις. Γιατί μέσα στην ψυχή του έχει τις αρχές του διπλάσιου, του τετραπλάσιου, του μισού, των σχημάτων και των μεταξύ τους σχέσεων. Ο δούλος έχει την ορθή γνώμη γι᾿ αυτά τα αισθητά σχήματα αντλώντας τις αρχές από μέσα του, ενεργοποιώντας την ανάμνησή τους.

Ο δούλος ξαναθυμήθηκε γνώση που δεν διέθετε. Συνεπώς, αφού κανείς δεν δίδαξε τον δούλο, έπεται ότι η ψυχή του κατείχε τις ορθές γνώμες, οι οποίες με τις ερωτήσεις ανακινήθηκαν και μετατράπηκαν σε γνώση. Και εφόσον η ψυχή κατέχει συνεχώς την αλήθεια των όντων, είναι αθάνατη. Με άλλα λόγια: Ο δούλος κάποτε «είχε» τη γνώση που λησμόνησε αργότερα, και αφού ποτέ του στη ζωή αυτή δεν «διδάχτηκε» γεωμετρία, το «κάποτε» κατ᾿ ανάγκην σημαίνει «πριν γίνει άνθρωπος»· και έτσι διαπιστώνουμε την αθανασία της ψυχής.